DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

   Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p  P(0)=1-p=q

Además se cumple:  E(X)= p   V(X)=pq

 

   Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

 

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

 

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

 

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

 

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

 

   Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

 

   Dado que  y , resulta que P(X = x) =  determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

 

 

 

 En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

* =

 

   Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

 

 = n.p

 

 = n.p.q

 

 

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

 

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica  si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

 

 

 

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3  Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

 

 

 

 

 

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

 

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

 

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y  el rechazo del lote se realizara si se encuentra más  de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

 

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

 

 

 

 

 

DISTRIBUCIÓN POISSON

 

   Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

 

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

 

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

 

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

 

   La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por  se denomina distribución Poisson; donde l es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene  =  = l.