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La Coctelera

Evaluación de Clase Asistida

Resolver Ejercicios y enviar a mi correo (Evaluación Clases Asistidas)

 

1  un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una d6Tras istribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

2  Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

b. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c.  En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

3. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

4.  En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

5 Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

Distribución Normal

Resolver los ejercicios- Evaluación Contìnua

1Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

2En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

3En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

4La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

5Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

Ley de Los Grandes Números y Teorema del Limite Central

 

Ley de los Grandes Números

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precísamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces.

Una demostración teórica del teorema es laboriosa, por lo que no tiene sentido exponerla en esta página. Si alguien está interesado en una demostración tanto de este teorema cómo del Teorema Central del Límite puede mirar en :

Introduction to probability

que es un libro de introducción a la probabilidad, disponible en línea, de forma totalmente gratuita. El único inconveniente es que está en inglés.

Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera intuitiva a los resultados que establece el teorema.

El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.

Si la mesa, tiene 1 metro de longitud, el resultado del experimento, puede tomar cualquier valor comprendido entre cero y uno.

Sabemos que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.

Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable.

La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.

El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.

Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.

Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.

Este es el resultado que demuestra el teorema conocido cómo : Ley de los Grandes Números

Para realizar la simulación del experimento sólo tenemos que escribir el número de veces que queremos golpear la bola, por defecto 10, y hacer click en el botón de "Ejecutar".

Simulación del experimento

Teorema Central del Límite

Es el segundo teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

El Teorema Central del Límite establece lo que pasa cuando tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Por ejemplo si en el experimento anterior en lugar de considerar una bola, consideramos 10 bolas y el experimento consiste en calcular la media de las distancias a la que se detiene cada una de las bolas.

Como hemos visto , la distribución de probabilidades cuando el experimento se realiza sobre una bola es uniforme ; las probabilidades son las mismas para cada resultado. Si en lugar de una bola consideramos varias y en lugar de las distancias individuales consideramos la media, aparecen otras distribuciones.

Si aumentamos el número de bolas con que realizamos el experimento por encima de 30. La distribución de las medias es muy aproximadamente una Distribución Normal.

Este es el resultado que establece el Teorema Central del Límite.

Para realizar la simulación que se propone a continuación, sólo tenemos que poner el número de bolas con el que queremos realizar el experimento (para calcular la media), entre 10 y 50, y el número de veces que queremos repetir el experimento, entre 10 y 1000. Despues hacer click en el botón: Ejecutar.

En la simulación debemos observar cómo a medida que aumenta el número de bolas la distribución de probabilidades tiende a una Distribución Normal y como a medida que aumentamos el número de veces que repetimos el experimento, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

PROBABILIDAD

 

Introducción Estadística: En el lenguaje común  es conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y el análisis de observaciones numéricas. Sus fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien, realizar generalizaciones acerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración. La Estadística es una de las ramas de la matemática con más aplicaciones ya que casi en cualquier rama del conocimiento humano tiene aplicación. Se considera como su fundador a Godofredo Achenwall, profesor alemán (1719-1772), él y sus seguidores estructuraron métodos estadísticos para estudiar las riquezas de las naciones.

Conceptos de Población y Muestra

Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno (pueden ser hogares, número de tornillos producidos por una fábrica en un año, lanzamientos de una moneda, etc. ). Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones.

Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población.
Las muestras pueden ser probabilísticas o no probabilísticas. Una muestra probabilística se elige mediante reglas matemáticas, por lo que la probabilidad de selección de cada unidad es conocida de antemano. Por el contrario, una muestra no probabilística no ser rige por las reglas matemáticas de la probabilidad. De ahí que, mientras en las muestras probabilísticas es posible calcular el tamaño del error muestral, no es factible hacerlo en el caso de las muestras no probabilísticas. Ejemplos de éstas últimas son la muestra accesible (que está conformada por personas de fácil acceso para el investigador como ser colegas o alumnos de su clase.) y la muestra voluntaria (donde los sujetos de la muestra no han sido seleccionados matemáticamente)
La modalidad más elemental de muestra probabilística es la muestra aleatoria simple, en la que todos los componentes o unidades de la población tienen la misma oportunidad de ser seleccionados.
Otro procedimiento similar de muestreo aleatorio es el llamado muestreo aleatorio sistemático en el cual se escoge uno de cada x componentes del listado de la población. El investigador selecciona al azar un punto de partida y un intervalo muestral. Así si el punto de partida fuera el 11 y el intervalo el 6 se elegirían el 11, 16, 21,16 hasta completar la lista.
Siempre que se desee adecuar la representación de diferentes subconjuntos hay que recurrir a una muestra estratificada. Las características de las submuestras (estratos o segmentos) pueden contemplar casi cualquier tipo de variables: edad, sexo, religión, niel de ingresos, etc. Los estratos pueden así definirse mediante un número prácticamente ilimitado de características. Puede ser un muestreo estratificado proporcional o no proporcional.

Individuo: cada uno de los elementos de la muestra o de la población (personas, tornillos, hospitales, comercios) y sobre los que recaerá la observación.

Variable: cada uno de los rasgos o característica de los elementos de una población y que varían de un individuo a otro (salario, color de ojos, sexo, número de hijos).
Las variables pueden corresponder a cuatro niveles de medición:
1) Nominal: hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en categorías; existen sólo conteos; no existe orden particular para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
2) Ordinal: corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en categorías y "ordenarlas" según algún tipo de gradación. Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.
3) de Intervalo: incluye todas las características de la escala ordinal, pero además la distancia entre valores es constante pues los valores que toma este tipo de variables corresponde al orden de los números naturales. Ejemplo: número de hijos,
4) de Razón: tiene las características de la escala de intervalo, pero se agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del atributo y la razón o cociente de dos números es significativo pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático. Ejemplo: ingreso familiar.

 

Tipos de Variables

Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas. Generalmente se utiliza el término "modalidad" cuando hablamos de caracteres cualitativos y el término "valor" cuando estudiamos caracteres cuantitativos. Una variable no es sino el conjunto de las distintas modalidades o valores que toma un carácter.
Variables cualitativas (o categóricas): aquellas que no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos). Las variables cualitativas sólo pueden ser nominales u ordinales.
Variables cuantitativas: las que pueden expresarse numéricamente (temperatura, salario, número de goles en un partido). Se pueden cuantificar los resultados experimentales por medio de instrumentos adoptando unidades de medida para valorar los diferentes resultados. Variables cuantitativas según el tipo de valores que pueda tomar pueden ser discretas o continuas. Variables discretas: son el resultado de contar y sólo toman valores enteros (número de hijos); Variables continuas: son el resultado de medir, y pueden contener decimales (temperatura, peso, altura). Se pueden subdividir a voluntad. Pueden tomar, entonces, cualquier valor de un determinado intervalo.

Distribuciones Discretas

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

   Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= P(0)=1-p=q

Además se cumple:  E(X)= p   V(X)=pq

 

   Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

 

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

 

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

 

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

 

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

 

   Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

 

   Dado que  y , resulta que P(X = x) =  determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

 

 

 

 En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

* =

 

   Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

 

 = n.p

 

 = n.p.q

 

 

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

 

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica  si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

 

 

 

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3  Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

 

 

 

 

 

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

 

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

 

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y  el rechazo del lote se realizara si se encuentra más  de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

 

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

 

 

 

 

 

DISTRIBUCIÓN POISSON

 

   Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

 

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

 

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

 

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

 

   La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por  se denomina distribución Poisson; donde l es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene  =  = l.

Distribuciones Discretas

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

   Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= P(0)=1-p=q

Además se cumple:  E(X)= p   V(X)=pq

 

   Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

 

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

 

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

 

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

 

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

 

   Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

 

   Dado que  y , resulta que P(X = x) =  determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

 

 

 

 En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

* =

 

   Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

 

 = n.p

 

 = n.p.q

 

 

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

 

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica  si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

 

 

 

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3  Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

 

 

 

 

 

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

 

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

 

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y  el rechazo del lote se realizara si se encuentra más  de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

 

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

 

 

 

 

 

DISTRIBUCIÓN POISSON

 

   Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

 

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

 

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

 

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

 

   La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por  se denomina distribución Poisson; donde l es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene  =  = l.

Distribución Binomial

1. En una fábrica de conservas se reciben las latas en lotes de 200 unidades y

la probabilidad de que una de ellas presente una tara es de 0,004. Si el

control de calidad que se realiza al proveedor dicta que sólo son admisibles

los lotes sin unidades defectuosas ¿qué porcentaje de lotes se rechazarín?

(Sol. 55%)

2. De cada doce perforaciones petrolíferas que realiza una empresa sólo una es

rentable. La empresa dispone capital para hacer 80 perforaciones y necesita

encontrar 4 pozos rentables para no quebrar ¿Cuál es la probabilidad de

agotar el presupuesto ? (Sol. 0,0051)

3. Un técnico de mantenimiento de una empresa repara una media de 3

máquinas al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en el día de hoy tenga que

reparar al menos dos? ¿Y de que en los últimos 3 días haya reparado más

de 10? (Sol. 0,80; 0,41)

4. Se va a proceder a la siembra de una nueva variedad de semilla. De cada

100 que se plantan una no fructifica. De un lote de 400 semillas se extraen

100 ¿cuál es la probabilidad de que haya como mucho 2 semillas que no

fructifiquen? ¿y de que haya exactamente dos? (Sol. 0,92; 0,18)

5. Se sabe que una máquina envasadora rompe un elemento cada 1250 que

envasa y el comprador de estos elementos rechaza un lote si el lote que

consta de 5000 piezas contiene más de 10 elementos rotos. ¿Qué

porcentaje de lotes se rechazan? Deduce con fórmulas cuántos elementos se

tendrían que inspeccionar en media para encontrar los 10 defectuosos (Sol.

0,28%; 12500)

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Ejercicios de Variables Aleatorias Discretas

 

PROBLEMAS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

 

•1)     Un equipo electrónico contiene 6 transistores dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el número de defectuosos observados.

Encuentre la distribución de probabilidad de X y su función acumulativa.

Resp:     para x = 0, 1, 2

•2)     Con el objeto de verificar la exactitud de su contabilidad la compañía utilizan auditores regularmente para verificar las anotaciones en sus cuentas. Supongamos que los empleados de la compañía hacen anotaciones erróneas el 5% de las veces. Si un auditor revisa al azar tres anotaciones.

•a)     Encuentre la distribución de probabilidad del número de errores detectados por el auditor

•b)     Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.

 

•3)     Un llavero contiene cuatro llaves de una oficina, que son idénticas en apariencia. Sólo una abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Si no es la llave adecuada se selecciona al azar una de las tres llaves restantes. Si esta última no es la llave que corresponda, se selecciona al azar una de las dos restantes. Sea X igual al número de llaves que se tienen que probar hasta encontrar la llave que abre la puerta. Encuentre la distribución de probabilidad de X, ¿cuál es la media?

 

•4)     Una caja contiene 10 bombillas, tres de las cuales están fundidas. Se extraen bombillas sucesivamente y se prueban, sin devolución, hasta que aparezca la última defectuosa. Sea X el número de bombillas probadas hasta que aparece la tercera defectuosa.

•a)     Hallar la función de probabilidad de esta variable aleatoria discreta

•b)     Hallar P(x=6)

•c)     Hallar P(x³5)

Resp:     para x = 3, 4, 5,...., 10

•5)     Al examinar pozos de agua en un distrito con respecto a dos impurezas encontradas en el agua, se encontró el 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la impureza B, Si se escoge un pozo del distrito al azar, encuentre la distribución de probabilidad para X, esto es, el número de impureza encontrado en el pozo.

 

•6)     Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Suponga que la operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes.

•a)     ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean un éxito,

si p =0.8?

•b)     ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean éxitos, si p = 0,6?

•c)     ¿Cuál es la probabilidad que menos de dos operaciones sean éxitos, si p = 0,3?

 

•7)      Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A, ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? ¿Al menos cinco personas?

 

•8)     En un almacén se tiene 10 impresoras, de las cuales 4 están defectuosas. Una compañía selecciona 5 impresoras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 no son defectuosas? ¿cuál es la probabilidad de que 3 son defectuosas?

 

•9)     En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de la caja, en promedio de 7 por hora. En una hora dada, ¿cuál es la probabilidad de que:

•a)     no lleguen más de 3 clientes?

•b)     Lleguen al menos 2 clientes?

•c)     Lleguen exactamente 5 clientes?

 

•10) El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de poisson con una media de 1,5 nudos por 10 pies3 de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de madera de 10 pies3 tenga a lo más un nudo.

 

•11) Un dado perfecto se lanza una sola vez. Sea X el número que aparece en la cara superior. Encuentre el valor esperado y la varianza de X.

 

•12) En un juego una persona recibe $15 cuando saca una jota o una reina y recibe $5 si saca un rey ó un as de una baraja de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar $4. ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?